Hoe sou ‘n dinosauriër 7 geskryf het?
Die storie van grondtalle
François Durand
Om te verduidelik wat ‘n grondtal is, wil ek eers demonstreer hoe dit werk. Ek gaan regdeur hierdie stuk o as ‘n simbool vir ‘n ertjie gebruik – dis nie 0 vir nul nie.
Tel hoeveel ertjies is in hierdie ry:
o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
Ongeag watter telstelsel jy gebruik, en van watter beskawing jy kom, en watter taal jy gebruik, of jy ‘n mens of ‘n ruimtewese is en of jy vingers of tentakels het, sal dit altyd een en een en een en een en een en een en een en een en een en een en een en een en een en een en een en een en een en een en een en een en een en een en een en een en een en een en een en een en een en een en een en een en een en een en een en een in daardie ry wees.
Dit is natuurlik ook twee en twee en twee en twee en twee en twee en twee en twee en twee en twee en twee en twee en twee en twee en twee en twee en twee en twee en twee en twee. Of natuurlik ook drie en drie en drie en drie en drie en drie en drie en drie en drie en drie en drie en drie. En ons almal weet dat dit dieselfde is as vier en vier en vier en vier en vier en vier en vier en vier en vier. Verseker is dit ook ses en ses en ses en ses en ses en beslis ook nege en nege en nege en nege.
So hoekom skryf ek nie eenvoudig 36 nie? Want dan mis ek die geleentheid om te verduidelik hoe grondtalle werk.
In Afrikaans, Nederlands, Duits, Engels (en seker amper al die Europese tale) het elke getal tot by twaalf het dit sy eie naam – soos Jan, San, Piet, Petro, Klaas, Miem, Koos, Trien, Sias, Saar, Ben en Let. Ek doen dit bloot om jou te wys hoe arbitêr die getalname werklik is – ons kon dit netsowel een, twee, drie, vier, vyf, ses, sewe, agt, nege, tien, elf en twaalf genoem het. Lank voor ons hierdie getalle aan die Arabiese syfers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 gekoppel het, het ons hulle so genoem en presies geweet hoeveel dit was, maar dit NIE so geskryf nie.
Voor die mense van Europa die Arabiese syfers aangeneem het, was getalle so geskryf: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII, XIII, XIV, XV terwyl Grieke nog voor dit getalle as: α’, β’, γ’, δ’, ε’, ϛ’, ζ’, η’, θ’, ι”, ια’, ιβ’, ιγ’, ιδ’, ιε’ geskryf het. Ongeag die feit dat ander volke in Europa ook Romeinse notasies in die Middeleeue gebruik het, was dit nog steeds in Ou Hoogduits as ein, zwene, dri, fior, fimf, sehs, sibun, ahto, niun, zëhan, einlif, zwelif, drizëhan, fiorzëhan, uitgespreek, terwyl die ou Nore dit einn, tveir, thrir (word eintlik þrír geskryf), fjórir, fimm, sex, sjau, átta, níu, tíu, ellifu, tólf, threttán (þrettán), fjórtán, fimmtán genoem het. Daar was nog baie ander simbole wat verskillende kulture gebruik het, maar die getalle en die betekenis daarvan bly konsekwent dieselfde terwyl die simbool of naam daarvoor heeltemal arbitrêr is.
Trouens die Arabiese name vir hierdie getalle is in werkliheid: wahed, ethnein, thalatha, arba-a, khamsa, sitta, sab-a, thamanya, tis-a, ashara, ‘ahad eashar, aithnay eashar. En daar sien jy die patroon uitkom: die Arabiere (soos die Grieke en die Romeine – maar net meer elegant) gebruik die grondtal 10! Die getal 11 is ‘ahad eashar en 12 is aithnay eashar waar eashar vir 10 staan.
Eers wanneer die Germaanse tale (dalk baie ander ook) by dertien kom, slaan die name wat ons vir getalle gee na die getalstelsel wat die grondtal 10 gebruik oor. Dan word dit dertien (drietien), veertien (viertien), vyftien ensovoorts, maar tot by 12 het elke getal sy eie naam. Ons sê nie eentien en tweetien nie. Die rede hoekom ons getalle tot 12 hul eie name het is omdat die Germane oorspronklik die grondtal 12 gebruik het voor die Romeine hulle gekoloniseer het. Dit is hoekom ons begrippe soos ‘n dosyn en ‘n gros het en die rede daarvoor is dat die mense van Wes Europa voor die Romeine ‘n grondtal 12 gehad het.
Vir solank as wat ek kan onthou was daar altyd ‘n wysneus wat vir my sê hoe simpel Afrikaans is omdat ons byvoorbeeld vyf-en-twintig sê en nie twenty five soos hulle sê nie. Nou hier is die interessante feit: die Arabiere wat die getallestelsel geskep het en vir Weste gegee het, tel die ene en tiene soos ons dit in Afrikaans doen, en so ook die Duitsers, Nederlanders, Flaminge en Switsers.
Grondtalle is bloot ‘n sisteem wat ons gebruik om groot getalle neer te skryf of the sê sonder om een en een en een en een en een en een…. ensovoorts te skryf of te sê. ‘n Grondtal is die getal syfers (of ander simbole) wat in ‘n telstelsel gebruik word. Die posisionele sisteem wat die Arabiere ontwikkel het stel mens in staat om enige getal met slegs 10 syfers (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) te skryf – wat Leonardo van Pisa so opgewonde gemaak het toe hy dit by Berbers in die Maghreb geleer het, dat hy dit na Europa in 1202 ingevoer het.
Die desimale stelsel is die een wat die meeste wêreldwyd gebruik word. Die Egiptenare, Romeine en Arabiere het die grondtal tien gebruik. Die Germane het egter die grondtal 12 gebruik en Sumeriërs en Babiloniërs het die grontal 60 gebruik. ‘n Grondtal is gewoonlik groter as 1 en dui die getal syfers in ‘n reeks aan. Grondtalle word in posisionele stelsels gebruik. Die posisie van die getal dui op die ordegrootte van die getal. In die telstelsel wat op die grondtal 10 gebasseer is, word die eerste posisie vir ene gebruik, die tweede van regs word vir tiene gebruik, die derde vir honderde, die vierde vir duisende ensovoorts.
Hier is hoe dit gebeur wanneer ons ertjies met die grondtal 10 tel:
0
o 1
oo 2
ooo 3
ooooooooo 9
ooooooooo + o 10
Nou hier raak dit interessant. Ons dink dat 10 soos ‘n simbool vir tien is, maar dit is eintlik ‘n een wat in die tweede posisie van regs geplaas is terwyl die 0 ‘n plekhouer is. Die tweede posisie van regs maak die 1 staan vir tien – maar slegs as jy die grondtal tien gebruik. As jy ‘n ander grondtal gebruik staan dit vir daardie grondtal.
Met ander woorde 10 verteenwoordig, met die grondtal tien, ‘n volle versameling van ene (0 tot 9) plus 1. Maar mens kan nie tien in die ene posisie skryf nie want as die grondtal 10 is, kan geen van die getalle in enige posisie tien of groter wees nie en dan moet die een dan opskuif na die tweede plek van regs, naamlik die tiene, terwyl die nul as plekhouer in die ene posisie dien.
Dit is natuurlik hoe mens dan twintig skryf waar die 2 twee vol stelle van ene simboliseer:
| oooooooooooooooooooo | 2 | 0 |
En ses-en-dertig word natuurlik so geskryf met drie vol stelle van ene plus ses ene.
| oooooooooooooooooooooooooooooooooooo | 3 | 6 |
Tien kan slegs as 10 geskryf word as mens die grondtal 10 gebruik. As jou grondtal verander beteken 10 heeltemal iets anders as tien.
Om te illustreer hoe dit sou werk as mens die grondtal 12 gebruik moet ek eers ‘n toertjie doen – ek sal noodgedwonge ander simbole vir 10 en 11 moet skep want al het elf en twaalf hul eie name, gebruik ons desimale notasie om dit uit te druk. Dus vir hierdie eksperiment gaan ek 10 as ȭ en 11 as Ɣ uitdruk.
Tien sal mens dan so skryf:
| oooooooooo | ȭ |
Elf sal mens dan so skryf:
| ooooooooooo | Ɣ |
En twaalf sal mens so skryf:
| oooooooooooo | 1 | 0 |
Kyk daar! Met die grondtal 12 word twaalf (wat mens nou nie meer as 12 kan uitdruk nie) 10! Die 1 verteenwoordig ‘n volle reeks van ene (van 0 tot Ɣ (11) plus een wat dit na die tweede posisie in die posisionele stelsel laat oorspring met ‘n 0 as plekhouer in die laaste posisie.
Hoe sou ‘n dinosauriër dan 7 geskryf het?
Laat ons begin by die rede hoekom ons tien as grondtal in die eerste plek gekies het.
Dit begin by die Romeine wat Europa oorgeneem het en hulle kultuur op almal afgedwing het. Hulle het die grondtal 10 gebruik terwyl die Germane die grondtal 12 gebruik het. Tien is ‘n ongemaklike getal omdat dit nie lekker in breuke gedeel kan word nie. Vir alle praktiese redes kan mens tien slegs in 2 en 5 deel (natuurlik kan mens dit ook met 1 en 10 deel maar dit is laf om dit op die markplein te gaan doen). 12 aan die ander kant kan met 2, 3, 4, 6 gedeel word (en natuurlik ook met 1 en 12), en dit is dus ‘n baie handiger getal as mens (sonder ‘n sakrekenaartjie) in die ou tyd moes handel dryf en goed opdeel. As vier sakke meel drie skape werd was en almal het vir eeue so besigheid gedoen en die Romeine kom neem die dorpie oor en skielik is twee sakke meel een en ‘n half skaap werd, is dit baie morsige besigheid veral vir die ou wat die halwe skaap huis toe moet dra.
Die Sumeriërs en Babiloniërs het met hulle lekker 60 grondtal ‘n getal gehad wat met 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 en 30 (en natuurlik 1 en 60). Dit is natuurlik die rede hoekom ons dit vandag nog as sekondes en minute as tyd en lengte- en breedtegrade en grade in ‘n gradeboog (6 x 60) gebruik! Kan jy dink hoe gronddom dit sou wees om ‘n dag van 10 ure te he wat elk uit 100 desimale minute bestaan, waarvan elk uit 100 desimale sekondes bestaan? Die Fanse het presies so ‘n stelsel na die Franse Revolusie uitgedink! Maar meer daaroor in die volgende hoofstuk.
Die laaste strooi wat die Romeinse en die grondtal 12 se rug geknak het was die gesofistikeerde wiskundige stelsels wat die Arabiere ontwikkel het waarmee komplekse wiskundige berekeninge gedoen kon word. Hulle het spesifiek die posisionele notasiestelsel wat op die grondtal 10 gebasseer is, gebruik. Lees meer daaroor in Hoekom doen ons wiskunde agterstevoor?
Die rede vir die populariteit van die grondtal 10 en die rede hoekom dit juis deur mense van ryke gebruik was, is omdat mens dit met handgebare kan beduie en ons het 10 vingers. Dus ondanks die relatiewe lompheid van die getal 10, kon handelaars en soldate en regeringsamptenare regoor Europa, Asië en Afrika reis, mense teëkom wat nie Latyn kon praat nie en met hul vingers beduie hoeveel van wat hulle wou hê – en die oomblik wat jy jou vingers gebruik – gebruik jy die grondtal 10.
So hoe sou ‘n dinosauriër getel het? In hierdie storie moet ons aanvaar dat dinosauriërs nie deur ‘n meteoriet uitgewis was nie en dat die vleisvretende, tweebenige, drie-vinger dinosauriërs intelligensie soortgelyk aan die mens s’n ontwikkel het (ek weet dis vergesog maar please listen carefully – ons doen wiskunde hier). As ‘n tienvinger wese die grondtal 10 ontwikkel het, sal ‘n drievinger wese waarskynlik die grondtal 6 ontwikkel. En dit is hoe dit ertjies sou tel:
| 0 |
| o | 1 |
| oo | 2 |
| ooo | 3 |
| oooo | 4 |
| ooooo | 5 |
En kyk nou hoe hy ses met die grondtal 6 sou skryf:
| oooooo | 1 | 0 |
En dan sal sewe logies so geskryf word:
| ooooooo | 1 | 1 |
En dit is hoe twaalf in dinosauriërwêreld geskryf sou word:
| oooooooooooo | 2 | 0 |
Met die grondtal 6 sal mens 6 as 10 skryf en 7 as 11 en 12 as 20! Jy sal ook nooit die syfers 7, 8 of 9 gebruik nie want in daardie wêreld sal dit nie bestaan nie, maar die begrippe sewe, agt en nege sal wel bestaan maar anders geskryf en genoem word naamlik: ses-en-een = 11, ses-en-twee = 12 en ses-en-drie = 13.
Die binêre stelsel, wat jy onwetend elke dag van jou lewe deur middel van jou rekenaar en slimfone en ander instrumente gebruik, wat die grondtal 2 gebruik, tel so:
| o | 1 |
| oo | 1 | 0 |
| ooo | 1 | 1 |
| oooo | 1 | 0 | 0 |
| ooooo | 1 | 0 | 1 |
| oooooo | 1 | 1 | 0 |
| ooooooo | 1 | 1 | 1 |
| ooooooo | 1 | 0 | 0 | 0 |
| oooooooo | 1 | 0 | 0 | 1 |
Dus word 2 as 10 in die binêre stelsel geskryf en 6 word as 110 geskryf en 8 as 1001, want met die grondtal 2 kan mens nerens 2 skryf nie en dus word mens tot 0 en 1 beperk – verbeel jou jy het net een vinger aan elke hand en moet wiskunde verduidelik aan iemand wat nie jou taal verstaan nie.
Sonder om dit agter te kom gebruik ons egter daagliks verskeie grondtalle sonder om twee keer daaroor te dink. Toegegee, daar is baie grondtalle wat slegs rekenaars gebruik, maar daar is ook ‘n hele paar wat ons al vir eeue en selfs milennia gebruik het.
| Grondtal | Naam | Toepassing |
| 2 | Binêr | Rekenaarkodering |
| 3 | Tersiêr | Voet/jaart, teelepel/desertlepel afmetings |
| 6 | Senêr | Dobbelstene |
| 7 | Septenêr | Weeksdae, Westerse musieknotasie |
| 10 | Desimaal of denêr | Mees algemene teltelsel in die wêreld |
| 12 | Duodesimaal | Dosyn getalstelsel, horlosies, maande, voet/duim |
| 24 | Tetravigesimaal | 24 uur tydsberekening |
| 36 | Heksatrigesimaal | Kodering waar letters en syfers gebruik word soos op nommerplate |
| 60 | Seksagesimaal | Sumeriese en Babiloniese grondtal, grade/minute/sekondes, ure/minute/sekondes. |
| 360 | Tresentoseksa-gesimaal | Grade in ‘n gradeboog danksy die Sumeriërs |
Hier is ‘n voorbeeld van hoe ons twee getalstelsels, wat op verskillende grondtalle gebasseer is, gebruik.
Onwetend doen mens dit as dit by tyd kom. Ons sê dikwels half sewe, maar mens dit is ook ses dertig sê. Almal weet mos dat ‘n halwe uur dertig minute is. Mens kan egter nie ‘n derde oor ses sê nie, terwyl kwart oor ses is aanvaarbaar is – maar dit het meer met sosiale konvensie te doen as iets anders.
Mens gebruik beide die grondtalle sestig en tien wanneer mens met kaarte werk. Die koòrdinate 25.746408° S 28.188028° E (desimale notasie) word so in grade, minute en sekondes geskryf: 25°44ʽ47.07″ S 28°11ʽ16.90″ E. Die eerste formaat wat mens op ‘n GPS kry, gebruik die grondtal 10 en die tweede wat mens op kaarte gebruik, is op die grondtal 60 gegrond. As jy met kaarte werk, moet jy in staat wees hom heeltyd tussen hierdie formate heen en weer berekenings te kan doen.
Dis eenvoudig om grade na desimale om te skakel:
25°44ʽ47.07″ is 25 grade + 44 minute + 47.07 sekondes
Dus is 47.07 ‘n gedeelte van ‘n minuut.
In desimale terme is dit dus 47.07 ÷ 60 = 0,7845 van ‘n minuut.
Tel dit dan by die minute: 44 + 0,7845 = 44,7845
Maar daar is 60 minute in ‘n graad en dus kan 44,7845 ÷ 60 as 0,746408 van ‘n graad uitgedruk word.
Tel dit by die grade en dan kry mens: 25,746408°
Desimale na grade:
28.188028° is 28 grade en 0.188028° is die breukdeel van ‘n graad wat die minute en sekondes aandui.
60 x 0.188028 = 11,28168 wat dus 11 minute is en die breukdeel van ‘n minuut wat oorbly: 0,28168
0,28168 x 60 = 16,9008 sekondes.
Dus is my GPS lesing 28.188028° die kaartkoördinate 28°11ʽ16.90″
Ek gee vir meer as 30 jaar klas en dit verstom my jaar na jaar wanneer ek studente kaartlees leer hoe dit vir hulle al hoe moeiliker word om hierdie eenvoudige berekeninge te doen – ten spyte van die feit dat hulle Hoërgraad Wiskunde moes gehad het om universiteitstoelating in die wetenskappe te kry, en ten spyte van sakrekenaartjies wat mense tot ‘n paar dekades gelede nie gehad het nie. Tog het mense reggekry om vir vyf eeue rondom die aardbol te navigeer, seeroetes uit te werk, kuslyne te karteer en kontinente en eilande te ontdek en korrek op kaarte aan te teken. En nou praat ek nie eens van Eratosthenes wat, nadat hy bewys het dat die Aarde rond is, ook die omtrek van die Aarde, en die hoek van die helling van die Aarde se as, meer as 2250 jaar gelede sonder ‘n rekenaar bereken het nie. Die eerste bemande ruimtetuie het nie rekenaars aan boord gehad nie en die navigator het ‘n skuifliniaal vir sy berekeninge gebruik.
Dit herinner my aan die grappie: wat het ons voor kerse gebruik? Antwoord: elektrisiteit!